Question

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}(1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a_ia_j与两数中至少有一个属于A，
(Ⅰ)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
(Ⅱ)证明：a₁=1，且；
(Ⅲ)证明：当n=5时，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比数列。

Answer 1

(Ⅰ)解：由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，所以该数集不具有性质P．
由于1×2，1×3，1×6，2×3，都属于数集{1，2，3，6}，所以该数集具有性质P．
(Ⅱ)证明：因为A={a₁，a₂，…，a_n}具有性质P，所以a_na_n与中至少有一个属于A．
由于1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，所以a_na_n＞a_n，故a_na_nA，
从而，故a₁=1；
因为1=a₁＜a₂＜…＜a_n，所以a_ka_n＞a_n，故a_ka_nA(k=2，3，…，n)．
由A具有性质P可知，
又因为，
所以，
从而，
故。
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知，当n=5时，有，即，
因为，
所以，故，
由A具有性质P可知，
由，得，且，
所以，
故，
即是首项为1，公比为a²的等比数列。