Question

【题目】如图，在四棱锥中，，．

（1）求证：；

（2）试在线段上找一点，使平面，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）为的中点．

【解析】试题分析：（1）连接，过作，垂足为，又满足线面垂直的判定定理，所以平面，因为在面内，所以可得；（2）当为中点时，取中点为，连接，平面，平面，根据线面平行的判定定理可得平面.

试题解析：（1）连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E

在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AD=DC，

所以四边形ADCE是正方形．

所以∠ACD=∠ACE=45°,因为AE=CD=AB，所以BE=AE=CE

所以∠BCE═45°所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°

所以AC⊥BC，又因为BC⊥PC，AC∩PC=C，AC平面PAC，PC平面PAC/p>

所以BC⊥平面PAC，而PA平面PAC，所以PA⊥BC．

（2）当M为PB中点时，CM∥平面PAD，

证明：取AP中点为F，连接CM，FM，DF．则FM∥AB，FM=AB，

因为CD∥AB，CD=AB，所以FM∥CD，FM=CD． 所以四边形CDFM为平行四边形，所以CM∥DF，

因为DF平面PAD，CM平面PAD，所以，CM∥平面PAD．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直证明线线垂直，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（2）是就是利用方法①证明的.