Question

已知直线l:y=tanα(x+2)交椭圆x²+9y²=9于A、B两点，若α为l的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，求α的取值范围.

Answer 1

剖析：确定某一变量的取值范围，应设法建立关于这一变量的不等式，题设中已经明确给定弦长≥2b,最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.

解：将l方程与椭圆方程联立，消去y,得(1+9tan²α)x²+36tan²α·x+72tan²α-9=0,

    ∴|AB|=|x₂-x₁|

    =·

    =.

    由|AB|≥2,得tan²α≤,

    ∴-≤tanα≤.

    ∴α的取值范围是［0,］∪［,π］.

讲评：考查直线与椭圆相交所得弦长的范围，对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l的方程由tanα给出，所以可以认定α≠,否则涉及弦长计算时，还应讨论α=时的情况.