Question

（本题满分12分）已知函数（x>0）．（1）若b≥，求证≥（e是自然对数的底数）；（2）设F(x)=+（x≥1，a∈R），试问函数F(x)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  见解析  (Ⅱ)  当a≥0时，最小值为a-1，当a<0时，最小值为．

解析:

由已知有，令，即，解得．

当时，≥0，即f(x)在上是增函数；当 时，<0，即f (x)在上是减函数．………4分于是由 b≥，有≥，即blnb≥．整理得 lnb^be≥，∴ ≥．  6分

（2），令=0，即lnx+a=0，解得x=．

当≤1，即a≥0时，F(x)在上是增函数，∴ ；

当>1，即a<0时，F(x)在[1，]上是减函数，在上是增函数，

∴ ．

即F(x)存在最小值，当a≥0时，最小值为a-1，当a<0时，最小值为．

                   ……………………………………………………………………12分