Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．
（1）求作平面PAD与平面PBC的交线，并加以证明；
（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）直接过P作BC的平行线L，根据线面平行可以证得L即为所求；
（2）求出A到平面PBC的距离为h（可以利用等体积法），再与PA作比值，即为PA与平面PBC所成角的正弦值．
（3）取BC中点M，连PM、DM，则PM⊥BC，结合PD⊥BC，又BC∥L，可得∠DPM为所求，然后求出∠DPM的正切值即可．

解答：解：（1）过P作BC的平行线L即为所求．（2分）
因为BC∥AD，BC?面PAD，AD⊆面PAD，
所以BC∥平面PAD，
因为平面PAD∩平面PBC=L，
所以BC∥L  （5分）
（2）解：设PD=AD=1，设A到平面PBC的距离为h，
则由题意PA=PB=PC=

2

，S_△ABC=

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

在等腰△PBC中，可求S_△PBC=

1

2

×1×

( 2 )2- ( 1 2 )2

=

7

4

∴V _A-PBC=V _P-ABC，

1

3

×h×

7

4

=

1

3

×1×

3

4

，h=

21

7

∴sinθ=

h

PA

=

21 7

2

=

42

14

（3）由题意可知，PA=PB=PC=

2

，取BC中点M，连PM、DM，则PM⊥BC，
因为PD⊥BC，又BC∥L，
所以∠DPM为所求．（8分）
DM=DC•sin60°=

3

2

；
在Rt_△PDM中，tan∠DPM=

DM

PD

=

3 2

1

=

3

2

（12分）
即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的正切值为：

3

2

．

点评：本题考查空间直线和直线垂直的判定．线面角求解．考查空间想象、推理论证能力．