题目内容
已知函数
(
)．
（1）求函数
的极值;
（2）若不等式
对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围．
解：（1）函数
的定义域为
，
，……………3分
令
，解得
，列表
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| － | － | 0 | + |
|
| 单调递减 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
由表得函数
的单调减区间为
，
，单调减区间为
；
所以极小值为
＝
，无极大值.
（2）当
时，对任意
，不等式恒成立；
当
时，
在
两边取自然对数，得
，
当
时，
，当
，不等式恒成立；
如果
，
， 
，不等式等价于
，
由(1)得，此时
，不等式不恒成立.
当
时，
，则,不等式等价于,
由(1)得，此时
的最小值为
，
得
.…………14分
综上：
的取值范围是.
【说明】本题考查用导数判断函数单调性、求极值、对数函数的性质、转化化归思想、分类讨论思想、不等式的性质、恒成立问题处理方法.
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