Question

求证：若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线段长等于圆心到该边对边的距离．

Answer 1

分析：以两条对角线的交点为原点O、对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设出A（-a，0），B（0，-b），C（c，0），D（0，d），求得CD的中点E和AB的中点H的坐标．
由圆的性质求得圆心G的坐标，求得|OE|²=|GH|²=

c2+d2

4

，可得|OE|=|GH|，命题得证．

解答：解：以两条对角线的交点为原点O、对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，（如图所示） 
设A（-a，0），B（0，-b），C（c，0），D（0，d），则CD的中点E（

c

2

，

d

2

），AB的中点H（-

a

2

，-

b

2

）．
又圆心G到四个顶点的距离相等，故圆心G的横坐标等于AC中点的横坐标，等于

c-a

2

，
圆心G的纵坐标等于BD中点的纵坐标，等于

d-b

2

．
即圆心G（

c-a

2

，

d-b

2

），∴|OE|²=

c2+d2

4

，
|GH|²=(

c-a

2

+

a

2

)2+(

d-b

2

+

b

2

)2=

c2+d2

4

，∴|OE|=|GH|，故要证的结论成立．

点评：本题主要考查用坐标法证明几何问题，线段的中点公式、两点间的距离公式的应用，属于中档题．