题目内容

已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为 $数学公式$ ，一个焦点是F（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）直线l过点F交椭圆于A、B两点，且 $数学公式$ ，求直线l的方程．

解：（Ⅰ）设椭圆方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）．
依题意，e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，c=1，∴a=2，b²=a²-c²=3，
∴所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）若直线l的斜率k不存在，则不满足 $\text{[math]}$ ．
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=kx+1．
因为直线l过椭圆的焦点F（0，1），所以k取任何实数，直线l与椭圆均有两个交点A、B．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程 $\text{[math]}$ 消去y，得（3k²+4）x²+6kx-9=0．
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，①x₁•x₂= $\text{[math]}$ ，②
由F（0，1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1），得x₁=-2x₂．
将x₁=-2x₂代入①、②，得 $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ ，④
由③、④得， $\text{[math]}$ ，化简得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，∴k=± $\text{[math]}$
∴直线l的方程为：y=± $\text{[math]}$ x+1．
分析：（Ⅰ）设椭圆方程，确定几何量，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量条件，即可求得直线方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．