Question

已知点A（3，1）是直线l被双曲线

x2

4

-

y2

3

=1所截得的弦的中点，则直线l的方程是（　　）

A．9x-4y-23=0

B．9x+4y-31=0

C．x-4y+1=0

D．x+4y-7=0

Answer 1

分析：由题意知该直线必存在斜率，设该弦两端点为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用平方差法即可求得该直线方程．

解答：解：由题意知该直线必存在斜率，设该弦两端点为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=6，y₁+y₂=2，
把P，Q两点坐标代入双曲线方程，得

x12

4

-

y12

3

=1①，

x22

4

-

y22

3

=1②，
①-②得，

x12-x22

4

-

y12-y22

3

=0，即

(x1+x2)(x1-x2)

4

-

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0，
整理得，

y1-y2

x1-x2

=

3

4

×

x1+x2

y1+y2

=

3

4

×

6

2

=

9

4

，即k_PQ=

9

4

，
故所求直线方程为：y-1=

9

4

(x-3)，即9x-4y-23=0．
故选A．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系问题，属中档题，涉及弦中点问题，一般利用平方差法，即设出弦端点，把坐标代入曲线方程，变形为关于中点及直线斜率的关系式．