Question

（2012•洛阳模拟）若a满足x+lgx=4，b满足x+10^x=4，函数f（x）=

x2+(a+b)x+2，x≤0 2，x＞0

，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：先根据a满足x+lgx=4，b满足x+10^x=4，可得a+b=4，进而可分类求出关于x的方程f（x）=x的解，从而确定关于x的方程f（x）=x的解的个数．

解答：解：∵a满足x+lgx=4，b满足x+10^x=4，
∴a，b分别为函数y=4-x与函数y=lgx，y=10^x图象交点的横坐标
由于y=x与y=4-x图象交点的横坐标为2，函数y=lgx，y=10^x的图象关于y=x对称
∴a+b=4
∴函数f（x）=

x2+4x+2，x≤0 2，x＞0

当x≤0时，关于x的方程f（x）=x，即x²+4x+2=x，即x²+3x+2=0，
∴x=-2或x=-1，满足题意
当x＞0时，关于x的方程f（x）=x，即x=2，满足题意
∴关于x的方程f（x）=x的解的个数是3
故选C．

点评：本题考查函数与方程的联系，考查根的个数的研究，解题的关键是求出分段函数的解析式，有一定的综合性．