Question

已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R，对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论;

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.

Answer 1

解析：利用四种命题的定义.

解：(1)逆命题是：若,则a+b≥0,真命题.

用反证法证明：假设a+b＜0,则a＜-b,b＜-a.

∵是(-∞,+∞)上的增函数，则,，

∴.这与题设相矛盾，

∴逆命题为真.

(2)逆否命题：若,则a+b＜0,真命题.

∵一个命题?它的逆否命题，∴可证明原命题为真命题.

∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.

又∵在(-∞,+∞)上为增函数，

∴,.

∴.

∴逆否命题为真.

点评：互为逆否命题的两个命题，在证明一个的真假性时，可证明它的等价命题.