Question

在自然条件下，某草原上野兔第n年年初的数量记为x_n,该年的增长量y_n和 x_n与的乘积成正比，比例系数为，其中m是与n无关的常数，且x₁<m，

(1)证明：;

(2)用 x_n表示x_n+1;并证明草原上的野兔总数量恒小于m.

Answer 1

（1）由题意知  ，配方得： ∵∴当且仅当时，取得最大值，即                                   （5分）

（2）                                                     （8分）

用数列归纳法证明：

当n=1时，由题意知，故命题成立

假设当时，命题成立

是x_k的一个二次函数，有对称轴，开口向下，由，则，于是在上均有=m

取，即知，∴当时，命题成立，综上知，对一切正整数n，这就是说该草原上的野兔数量不可能无限增长