Question

已知函数f(x)=logm

x-3

x+3

（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；
（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]的定义域区间[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求得f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．再验证f(-x)=logm

-x-3

-x+3

=logm

x+3

x-3

=logm(

x-3

x+3

)-1=-f(x)，从而可得f（x）为奇函数；
（2）f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]?（3，+∞）．设x₁，x₂∈[α，β]，则x₁＜x₂，且x₁，x₂＞3，作差f（x₁）-f（x₂）=logm

x1-3

x1+3

-logm

x2-3

x2+3

=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

，从而可知当0＜m＜1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；当m＞1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．                   
（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为递减函数，故若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，则有

logm α-3 α+3 =logmm(α-1) logm β-3 β+3 =logmm(β-1)

，从而问题可转化为α，β是方程

x-3

x+3

=m(x-1)的两个解，进而问题得解．

解答：解：（1）由

x-3

x+3

＞0得f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．
∵f(-x)=logm

-x-3

-x+3

=logm

x+3

x-3

=logm(

x-3

x+3

)-1=-f(x)
∴f（x）为奇函数                     …（3分）
（2）∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]?（3，+∞）．
设x₁，x₂∈[α，β]，则x₁＜x₂，且x₁，x₂＞3，
f（x₁）-f（x₂）=logm

x1-3

x1+3

-logm

x2-3

x2+3

=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

∵（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）=6（x₁-x₂）＜0，
∴（x₁-3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂-3）
即

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜1，
∴当0＜m＜1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
当m＞1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．                      …（7分）
（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为递减函数，
∴若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[log_mm（β-1），log_mm（α-1）]，
则有

logm α-3 α+3 =logmm(α-1) logm β-3 β+3 =logmm(β-1)

…（9分）
∴

α-3 α+3 =m(α-1) β-3 β+3 =m(β-1)

∴α，β是方程

x-3

x+3

=m(x-1)的两个解…（10分）
解得当0＜m＜

2- 3

4

时，[α，β]=[

1-2m- 16m2-16m+1

2m

，

1-2m+ 16m2-16m+1

2m

]，
当

2- 3

4

≤m＜1时，方程组无解，即[α，β]不存在．                 …（12分）

点评：本题以对数函数为载体，考查对数函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数的定义域与值域，同时考查分类讨论的数学思想，综合性强．