Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，渐近线l₁上一点P（

3

3

，

6

3

）满足：直线PF与渐近线l₁垂直．       
（1）求该双曲线方程；
（2）设A、B为双曲线上两点，若点N（1，2）是线段AB的中点，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）先由双曲线方程求出渐近线方程，再联立求交点坐标，与P（

3

3

，

6

3

）为同一点，可求出a，b值，则双曲线方程可求．
（2）依题意，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可设直线AB的方程为y=k（x-1）+2，代入双曲线方程，化简可得（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2=0①，由根与系数的关系，可得x₁+x₂=

2k(2-k)

2-k2

，而已知N（1，2）是AB的中点得

1

2

（x₁+x₂）=1，联立可得k的值，即可得直线的方程．

解答：解：（1）设F（c，0），l₁：y=

b

a

x，
解方程组

y= b a x x2 a2 - y2 b2 =1

得P（

a2

c

，

ab

c

）
又已知P（

3

3

，

6

3

）．
∴

a2 c = 3 3 ab c = 6 3

，又a²=b²+c²，
∴a=1，b=

2

，c=

3

∴双曲线方程为x²-

y2

2

=1
（2）依题意，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可设直线AB的方程为y=k（x-1）+2，
代入x²-

y2

2

=1，整理得（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2=0①
x₁，x₂则是方程①的两个不同的根，
所以2-k²≠0，且x₁+x₂=

2k(2-k)

2-k2

，
由N（1，2）是AB的中点得

1

2

（x₁+x₂）=1，
∴k（2-k）=2-k²，
解得k=1，
所以直线AB的方程为y=x+1．

点评：本题主要考查直线与双曲线的位置关系，用到求交点坐标，以及方程思想，做题时认真分析，找到正确解法．