Question

圆M的圆心在直线y=-2x上，经过点A（2，-1），且与直线x+y=1相切，
（1）试求圆M的方程；
（2）从点P（-1，-2）发出的光线经直线y=1反射后可以照在圆M上，试求发出光线所在直线的斜率取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出圆心的坐标为（a，2a），根据圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标，进而求出圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可；
（2）设发出光线所在直线的斜率为k，求出发射光线所在直线的方程，再利用圆心到直线的距离不大于半径，建立不等式，即可得出结论．

解答：解：（1）设所求圆心坐标为（a，2a），则
由条件得

(a-2)2+(2a+1)2

=

|a+2a-1|

2

，化简得a²+6a+9=0，
∴a=-3，
∴圆心为（-3，-6），半径r=5

2

，
∴所求圆方程为（x+3）²+（y+6）²=50；
（2）设发出光线所在直线的斜率为k，则发射光线所在直线的斜率为-k，
点P（-1，-2）关于直线y=1的对称点的坐标为（-1，4），
∴发射光线所在直线的方程为y-4=-k（x+1），即kx+y-4+k=0，
∵点P（-1，-2）发出的光线经直线y=1反射后可以照在圆M上，
∴

|-3k-6-4+k|

k2+1

≤5

2

，解得k≤

10-5 27

23

或k≥

10+5 27

23

．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，常常利用此性质列出方程来解决问题．