Question

已知圆x²+y²+2x-4y+F=0与x轴相切于点A，另y轴上有点B（0，2）．
求：
（1）点A的坐标与F的值；
（2）直线AB截得圆的弦长．

Answer 1

分析：（1）将圆C化成标准方程，可得（x+1）²+（y-2）²=5-F，结合圆C与x轴相切于点A，可得A的坐标为（-1，0）．再由点到直线的距离建立关于F的方程，可解出F的值；
（2）根据直线方程的两点式，给出直线AB的方程，再运用点到直线的距离算出圆心C到AB的距离，最后根据垂径定理即可算出直线AB截得圆的弦长．

解答：解：（1）设圆的圆心为C，则
将圆C：x²+y²+2x-4y+F=0化成标准方程得 （x+1）²+（y-2）²=5-F，
可得圆C表示以（-1，2）为圆心，以

5-F

为半径的圆．
∵圆x²+y²+2x-4y+F=0与x轴相切于点A，
∴切点A的坐标为（-1，0）
C（-1，2）到x轴的距离等于半径，即2=

5-F

，解之得F=1；
（2）∵A（-1，0），B（0，2）．
∴直线AB方程为

y-2

0-2

=

x-0

-1-0

，即2x-y+2=0
∵点C（-1，2）到2x-y+2=0的距离为d=

|-2-2+2|

5

=

2 5

5

∴直线AB截得圆的弦长为：2

r2-d2

=

8 5

5

点评：本题给出与x轴相切的圆，求直线AB被圆截得的弦长，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．