Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=10n-n2，（n∈N^*）．
（1）求a₁和a_n；
（2）记b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）取n=1，及再写一式，两式相减，即可求得a₁和a_n；
（2）确定数列{b_n}的通项，确定其正数项，从而可求数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（1）∵Sn=10n-n2，∴a₁=S₁=10-1=9．------------------（2分）
当n≥2，n∈N^*时，Sn-1=10(n-1)-(n-1)2=10n-n2+2n-11
∴an=Sn-Sn-1=(10n-n2)-(10n-n2+2n-11)=-2n+11-------------------（4分）
又n=1时，a₁=-2×1+11=9，符合已知条件．
∴a_n=-2n+11（n∈N^*）----------------（5分）
（2）∵a_n=-2n+11，∴bn=|an|=

-2n+11(n≤5) 2n-11(n＞5)

设数列{b_n}的前n项和为T_n，n≤5时，Tn=

n(9-2n+11)

2

=10n-n2，-------------------（8分）
n＞5时Tn=T5+

(n-5)(b6+bn)

2

=25+

(n-5)(1+2n-11)

2

=25+(n-5)2=n2-10n+50
故数列{b_n}的前n项和Tn=

10n-n2(n≤5) n2-10n+50(n＞5)

---------------------（12分）

点评：本题考查数列的通项，考查数列的求和，解题的关键是掌握数列的常用求解方法，属于中档题．