Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=2ⁿ⁺¹-n-2（n∈N^*），
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=

n

an+1-an

，数列{b_n}的前项和为T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据n=1时，a1=S1，n≥2时，an=Sn-Sn-1，以及S_n=2ⁿ⁺¹-n-2（n∈N^*），可求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）所得数列{a_n}的通项公式，代入bn=

n

an+1-an

，得到数列{b_n}的通项公式，观察得出，数列{b_n}为等差数列与等比数列的积数列，可以用错位相减求和．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2ⁿ⁺¹-n-2
当n≥2时S_n-1=2ⁿ-（n-1）-2（n∈N^*）
∴a_n=2ⁿ-1（n≥2）
又a₁=S₁=1
∴a_n=2ⁿ-1（n∈N*）
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ-1∴bn=

n

(2n+1-1)-(2n-1)

=

n

2n+1-2n

=

n

2n

∴Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

1

2

Tn=，

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

∴Tn=2(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

)=2-

1

2n-1

-

n

2n

点评：本题考查了数列的前n项和与通项a_n的关系，以及错位相减求数列和．