Question

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．

（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的建造费用最小时的．

Answer 1

（I）
（II）当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时

解析试题分析：（I）设容器的容积为，由题意知，又，
故，由于，因此
所以建造费用

（II）由（I）得
由于，所以，令，得
（1）当即时，
所以是函数的极小值点，也是最小值点．
（2）当即时，函数单调递减，
所以是函数的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时
考点：本题主要考查函数模型，利用导数确定函数的单调性及极值。
点评：典型题，这是山东考题，意在考查函数的应用以及导数的应用。从解题方法看，确定好函数解析式，主要运用几何体体积公式，而求最值，主要运用导数知识，由于要进行分类讨论，所以，不少考生在此失分。