Question

如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，
（1）证明：MN⊥AB；
（2）设平面PDC和平面ABCD所成的二面角为θ，试求当θ为何值时，MN⊥面PCD．

Answer 1

分析：（1）利用两平行线中的一条垂直于平面另一条也垂直平面判断出NO⊥平面ABCD，利用线面垂直的判定定理与性质定理得到MN⊥AB．
（2）由已知易得：∠PDA即为平面PDC和平面ABCD所成的二面角的平面角，利用等腰三角形的中线垂直于底边得到MN⊥PC，由（1）知，MN⊥CD，利用线面垂直的判定定理得到MN⊥平面PCD．

解答：证明：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=0，连接NO，MO，则NO∥PA．
∵PA⊥平面ABCD，
∴NO⊥平面ABCD，
又∵AB?平面ABCD，
∴NO⊥AB，
∵MO⊥AB，NO∩MO=0，NO，MO?面MNO
∴AB⊥面MNO
又∵MN?面MNO
∴MN⊥AB…（6分）
解：（2）当θ=45°时，MN⊥面PCD，理由如下：
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD
又∵矩形ABCD中AD⊥CD
∴∠PDA即为平面PDC和平面ABCD所成的二面角的平面角
∴∠PDA=45°
∴PA=AD=BC，由△PAM≌△CBM
得PM=CM，
又∵N为PC的中点，
∴MN⊥PC
又MN⊥CD，PC∩CD=C
∴MN⊥平面PCD　　　　…（12分）

点评：本题考查线面垂直的判定定理；考查线面垂直的性质定理，利用三角形的中位线证明线线平行，属于中档题．