Question

7．已知椭圆E：x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜1）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，过F、A、B作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n），且m+n＞0，则椭圆E的离心率取值范围是$（0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．

Answer 1

分析 分别求出线段FA与AB的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P，利用m+n＞0，与离心率计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，
线段FA的垂直平分线为：x=$\frac{1-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2}$．
线段AB的中点$（\frac{1}{2}，\frac{b}{2}）$．
∵k_AB=-$\frac{b}{1}$=-b．
∴线段AB的垂直平分线的斜率k=$\frac{1}{b}$．
∴线段AB的垂直平分线方程为：y-$\frac{b}{2}$=$\frac{1}{b}（x-\frac{1}{2}）$，
把x=$\frac{1-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2}$=m代入上述方程可得：y=$\frac{{b}^{2}-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2b}$=n．
∵m+n＞0，
∴$\frac{1-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2}$+$\frac{{b}^{2}-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2b}$＞0．
化为：$b＞\sqrt{1-{b}^{2}}$，又0＜b＜1，
解得$\frac{\sqrt{2}}{2}＜b＜1$．
∴$e=\frac{c}{a}$=c=$\sqrt{1-{b}^{2}}$∈$（0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
故答案为：$（0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．