Question

设数列{a_n}的前N项和为S_n，且满足S₁=2，S_n+1=3S_n+2（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求证：数列{S_n+1}为等比数列；
（Ⅱ）求通项公式a_n；
（Ⅲ）若数列{

bn

an

}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明数列{S_n+1}为等比数列，只要证明 

Sn+1+1

Sn+1

=

3Sn+3

Sn+1

为常数即可
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn=3n-1，利用a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1可求
（Ⅲ）由等差数列的通项公式可求

bn

an

，利用错位相减可求数列的和

解答：证明：（Ⅰ）因为 S_n+1=3S_n+2，
所以 

Sn+1+1

Sn+1

=

3Sn+3

Sn+1

=3．
又∵S₁+1=3
所以数列 {1+S_n}是首项为3，公比为3的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn=3n-1．
当n=1时，a₁=S₁=2．
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）
=2×3^n-1
故an=2×3n-1．
（Ⅲ）因为 数列{

bn

an

}是首项为1，公差为2的等差数列，
由等差数列的通项公式可得 

bn

an

=1+2（n-1）=2n-1
所以 bn=2(2n-1)•3n-1．
所以Tn=2[1•30+3•3+…+(2n-1)•3n-1]
   3T_n=2[1•3+3•3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ]．
两式相减可得，-2T_n=2[1+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）•3ⁿ]
∴T_n=1+2×3×

1-3n-1

1-3

-(2n-1)•3n
∴Tn=2+(2n-2)•3n

点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式的求解中的应用，等差数列的通项公式的求解及错位相减求和方法的应用．