Question

已知函数f （ x ）=sinx-2x，若f（x²+y²+4x+2）≥0，则x²+y²+4y+2的最大值为（　　）

• A、

  2

• B、3

  2

• C、12
• D、16

Answer 1

分析：由题意，需要先研究函数f （ x ）=sinx-2x，由于sinx-2x≤0在[0，+∞）上恒成立，可得f （ x ）=sinx-2x＞0在（-∞，0）上恒成立，由此解出x²+y²+4x+2≤0，此是一个圆面，而x²+y²+4y+2的最大值可以看作圆面上的点到定点（0，-2）的最远距离，由此求解方法转化求两点间的距离，计算出最大距离，选出正确选项

解答：解：由题意由于sinx-2x≤0在[0，+∞）上恒成立，可得f （ x ）=sinx-2x＞0在（-∞，0）上恒成立，
又f（x²+y²+4x+2）≥0
∴x²+y²+4x+2≤0，此是一个以点（-2，0）为圆心，以

2

为半径的圆面
而x²+y²+4y+2的最大值可以看作圆面上的点到定点（0，-2）的最远距离的平方-2，
由于点（-2，0）与点（0，-2）距离为2

2

，
故圆面上的点到定点（0，-2）的最远距离为3

2

所以x²+y²+4y+2的最大值为18-2=16
故选D

点评：本题考查圆方程的综合运用，解题的关键是能从二元二次的不等式里观察出圆的特征来，将问题转化到解析几何中利用点与圆的位置关系计算出最值，本题考查了数形结合的及最值的几何意义，对观察能力要求较高，同时也要求对知识需要掌握得很熟练，才能转化灵活．