Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n对一切正整数n都成立.
（1）求a₁，a₂的值；
（2）设a₁＞0，数列的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值.

Answer 1

解：（1）当n=1时，a₂a₁=S₂+S₁=2a₁+a₂①
当n=2时，得②
②-①得，a₂（a₂-a₁）=a₂③
若a₂=0，则由①得a₁=0，若
a₂≠0，则a₂-a₁=1④
①④联立可得或
综上可得，a₁=0，a₂=0或或。
（2）当a₁＞0，由（1）可得
当n≥2时，，
∴
∴（n≥2）
=
令
由（1）可知==
∴{b_n}是单调递减的等差数列，公差为-lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₇=
当n≥8时，
∴数列的前7项和最大，
==7-。