Question

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲线上的点，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x轴正半轴上的点，且△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A₀为坐标原点）．
（1）写出a_n-1、a_n和x_n之间的等量关系，以及a_n-1、a_n和y_n之间的等量关系；
（2）猜测并证明数列{a_n}的通项公式；
（3）设，集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}，A={x|x²-2ax+a²-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求实常数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，，．…（4分）
（2）由得 =，
即，猜测． …（2分）
证明：①当n=1时，可求得，命题成立； …（1分）
②假设当n=k时，命题成立，即有，…（1分）
则当n=k+1时，由归纳假设及，
得，
即
解得，（不合题意，舍去），
即当n=k+1时，命题成立． …（3分）
综上所述，对所有n∈N^*，． …（1分）
（3）==．…（2分）
因为函数在区间[1，+∞）上单调递增，且，
所以．…（2分）
A={x|x²-2ax+a²-1＜0，a∈R}={x|x∈（a-1，a+1）}
由A∩B=φ，有a+1≤0，或，
故，，即 实常数a的取值范围为．…（2分）
分析：（1）依题意利用等腰直角三角形的性质可得，，．
（2）由得 =，即，猜测，
再用数学归纳法进行证明．
（3）用裂项法求得的值为，由函数在区间
[1，+∞）上单调递增，且，求得，再由 A={x|x²-2ax+a²-1＜0，a∈R}=
{x|x∈（a-1，a+1）}，A∩B=φ，有a+1≤0，或，由此求得实常数a的取值范围．
点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用裂项法对数列求和，两个集合的交集的定义的应用，属于难题．