Question

已知f（x）=e^x-ax-1
（Ⅰ）若f（x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）单调递增，求a的值；
（Ⅲ）设在g（x）=-x²+2x-2在（Ⅱ）的条件下，求证g（x）的图象恒在f（x）图象的下方．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由求导公式求出函数的导数，再根据题意转化为e^x-a≥0恒成立，利用y=e^x的值域求出a的范围；
（Ⅱ）由题意知，f（x）在（-∞，0]上单调递减，等价于e^x-a≤0在（-∞，0]上恒成立，利用参变量分离即可求出a的取值范围，同理得到，f（x）在[0，+∞）上单调递增时a的取值范围，综合即可得到a的值；
（Ⅲ）由（I）可得函数f（x）的解析式，及函数的最小值，将g（x）的图象恒在f（x）图象的下方转化为g（x）＜f（x）恒成立，结合二次函数的图象和性质，分析g（x）的值域，即可证明结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f′（x）=e^x-a，
∵f（x）在定义域R内单调递增，
∴e^x-a≥0在R上恒成立，即a≤e^x在R上恒成立，
∵e^x＞0，
∴a≤0．
（Ⅱ）由题意知，若f（x）在（-∞，0]上单调递减，则e^x-a≤0在（-∞，0]上恒成立，
∴a≥e^x在（-∞，0]上恒成立，
∵y=e^x在（-∞，0]上为增函数，
∴x=0时，y=e^x最大值为1，
∴a≥1，
同理可知，e^x-a≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴a≤e^x在[0，+∞）上恒成立，
∵y=e^x在[0，+∞）上为增函数，
∴x=0时，y=e^x最小值为1，
∴a≤1，
综上可知，当a=1时，满足f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
（Ⅲ）将g（x）的图象恒在f（x）图象的下方转化为g（x）＜f（x）恒成立，
由（I）可知f（0）是f（x）的最小值，有f（x）≥f（0），而f（0）=e⁰-0-1=0，
∴f（x）≥0，
∵g（x）=-（x-1）²-1，
∴g（x）≤-1，
∴f（x）＞g（x），即g（x）的图象恒在f（x）图象的下方，
故在g（x）=-x²+2x-2在（Ⅱ）的条件下，求证g（x）的图象恒在f（x）图象的下方．

点评：本题主要考查了导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题，同时考查了二次函数的图象和性质，其中根据已知中函数的单调性，结合函数单调性与导函数符号，列出关于a的不等式组是解答的关键．属于难题．