Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD，BC=2AD，BC∥AD，AD⊥DC．
（Ⅰ）证明AC⊥PB；
（Ⅱ）求二面角C-PB-A的大小．

Answer 1

分析：方法一：（几何法）
（I）设PA=AD=CD=a，由PA=AD=CD，BC=2AD，BC∥AD，AD⊥DC，解直角三角形ADC及三角形ABC可得∠BAC=90°，进而由三垂线定理得到AC⊥PB；
（Ⅱ）PA⊥面ABCD可得PA⊥CA，结合CA⊥AB及线面垂直的判定定理可得CA⊥面PAB，过点A作AE⊥PB于E，连接CE，由三垂线定理知，∠AEC即为二面角C-PB-A的平面角α解Rt△PAB，可得二面角C-PB-A的大小．
方法二：（向量法）
（I）建立空间直角坐标系D-xyz，设PA=AD=CD=1，根据AD⊥DC，BC=2AD，BC∥AD，分别求出异面直线AC和PB的方向向量

AC

，

PB

，根据两个向量的数量积为0，两个向量垂直，得到AC⊥PB
（Ⅱ）求出平面PBC的一个法向量，及平面PAB的一个法向量，代入向量夹角公式，可得二面角C-PB-A的大小．

解答：方法一：
（Ⅰ）证明：设PA=AD=CD=a，
∵AD⊥CD=0，BC=2AD
∴BC=2a
∵BC∥AD且BC⊥CD…（2分）
在Rt△ADC中，AC=

2

a，∠ACD=45°
∴△ABC中，∠ACB=45°
由余弦定理AB=

AC2+BC2-2cos∠ACB•BC•AC

=

2

a
∴AB²+AC²=BC²
∴∠BAC=90°…（4分）
∵AB是斜线PB在面ABCD内的射影，AC⊥AB，AC⊥PA，PB∩PA=P
故AC⊥平面PAB
又∵PB?平面PAB
∴AC⊥PB
（Ⅱ）∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥CA
∵CA⊥AB  PA∩PB=A
∴CA⊥面PAB
过点A作AE⊥PB于E，连接CE
则∠AEC即为二面角C-PB-A的平面角α…（9分）
在Rt△PAB中，PB=

3

a
∴AE=

PA•PB

PB

=

3 2

a
在Rt△AEC中，tanα=

AC

AE

=

3

∵0≤α≤π
∴α=

π

3

…（12分）
方法二：
（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系D-xyz，
设PA=AD=CD=1
∵AD⊥DC，BC=2AD，BC∥AD
∴BC=2且BC⊥CD…（2分）
则A（1，0，0）B（2，1，0），C（0，1，0）P（1，0，1）
∴

AC

=（-1，1，0），

PB

=（1，1，-1）
∵

AC

•

PB

=0
∴

AC

⊥

PB

，
即AC⊥PB…（6分）
（Ⅱ）∵

CP

=（1，-1，1）

PB

=（1，1，-1）
设平面PBC的一个法向量为

n

=(x，y，z)
∵

n

⊥

CP

，

n

⊥

BP

∴

n

•

CP

，

n

•

BP

=0
∴

x-y+z=0 x+y-z=0

⇒

x=0 y=z

取

n

=（0，-1，-1）
同理可取平面PAB的一个法向量为

m

=（1，-1，0）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

∴二面角C-PB-A为

π

3

．

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，空间中直线与直线之间的位置关系，用空间向量求平面间的夹角，其中方法一的关键是熟练掌握空间线线关系，线面关系及面面关系的定义，判定及性质，而方法二的关键是建立空间坐标系，将线线夹角及线面夹角问题转化为空间向量夹角问题．