Question

已知函数.

（Ⅰ）求函数的极大值.

（Ⅱ）求证：存在，使；

（Ⅲ）对于函数与定义域内的任意实数x，若存在常数k,b,使得和都成立，则称直线为函数与的分界线.试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k,b的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）……………………………………（1分）

      令解得

      令解得.……………………………………………………（2分）

      ∴函数在（0,1）内单调递增，在上单调递减. ……………（3分）

      所以的极大值为 …………………………………………（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在（0,1）内单调递增，在上单调递减，

      令

      ∴ ………………………………………………（5分）

      取则

 ………………………………（6分）

故存在使即存在使

………………………………………………（7分）

      （说明：的取法不唯一，只要满足且即可）

（Ⅱ）设

      则

      则当时，，函数单调递减；

      当时，，函数单调递增.

      ∴是函数的极小值点，也是最小值点,

      ∴

      ∴函数与的图象在处有公共点（）.………（9分）

      设与存在“分界线”且方程为，

      令函数

      ①由≥，得在上恒成立，

      即在上恒成立，

      ∴，

      即，

      ∴，故………………………………………（11分）

      ②下面说明：，

      即恒成立.

      设

      则

      ∵当时，,函数单调递增，

        当时，,函数单调递减，

      ∴当时，取得最大值0，.

      ∴成立.………………………………………（13分）

      综合①②知且

      故函数与存在“分界线”，

      此时…………………………………………………（14分）