Question

19.在棱长为a的正方体OABC—中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF.

(1)求证：A′F⊥C′E；

(2)当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，求二面角B′—EF—B的大小.(结果用反三角函数表示)

Answer 1

19.(1)［证明］如图，以O为原点建立空间直角坐标系.

设AE=BF=x，则A′(a，0，a)、F(a－x，a，0)、C′(0，a，a)、         

 E(a，x，0)， =(－x，a，－a)，=(a，x－a，－a). 　

∵·=－xa+a(x－a)+a²=0，

∴A′F⊥C′E.                                       　

 

(2)［解］记BF=x，BE=y，则x+y=a，三棱锥B′—BEF的体积V=xya≤=a³，

当且仅当x=y=时，等号成立.

因此，三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，BE=BF=.

过B作BD⊥EF交EF于D，连B′D，可知B′D⊥EF.

∴∠B′DB是二面角B′—EF—B的平面角.

在直角三角形BEF中，直角边BE=BF=，BD是斜边上的高，

∴BD=a.

tanB′DB==2，

故二面角B′—EF—B的大小为arctan2.