Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+ax-2(a∈R)
（1）若函数f（x）在区间（-∞，+∞）上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）设A（x₁，f（x₁））、B（x₂，f（x₂））是函数f（x）的两个极值点，若直线AB的斜率不小于-

5

6

，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数f（x）在区间（-∞，+∞）上为单调函数，可得不等式，即可求实数a的取值范围；
（2）表示出直线AB的斜率，结合韦达定理，代入可解出a的范围．

解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=x²+ax+a
∵函数f（x）在区间（-∞，+∞）上为单调函数，
∴△=a²-4a≤0
∴0≤a≤4；
（2）直线AB的斜率=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

1 3 x23+ 1 2 ax22+ax2-2-( 1 3 x13+ 1 2 ax12+ax1-2)

x2-x1

=

1

3

[（x₁+x₂）²-x₁x₂]+

1

2

a（x₁+x₂）+a≥-

5

6

∵x₁+x₂=-a，x₁x₂=a
∴

1

3

（a²-a）-

1

2

a²+a≥-

5

6

∴-1≤a≤5

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．