题目内容
在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=
x2．实数p，q满足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．（1）过点，A（p，
p2）（p≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=
；（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，
），E′（p2，
p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|?φ（a，b）=
．（3）设D={ （x，y）|y≤x-1，y≥
（x+1）2-
}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值 （记为φmin）和最大值（记为φmax）
【答案】分析：（1）求导，写出过点A（p，
p2）（p≠0）L的切线方程，求得点B的坐标，即可证得结果；
（2）求出过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，根据φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}，比较
、|a-
|、
、|a-
|的大小，即可证得结论；
（3）联立y=x-1，y=
（x+1）2-
求得交点坐标，利用导数求过点（p，q）抛物线L的切线方程，求得切点坐标，转化为求函数的最值问题．
解答：解：（1）kAB=y′|x=p0=
p，
直线AB的方程为y-
p2=
p（x-p），即y=
px-
p2，
∴q=
pp-
p2，方程x2-px+q=0的判别式△=p2-4q=（p-p）2，
两根x1，2=
=
或p-
，
而|p-
|=||p|-|
||，又0≤|p|≤|p|，
∴
，得|p-
|=||p|-|
||
，
∴φ（p，q）=
；
（2）由a2-4b＞0知点M（a，b）在抛物线L的下方，
①当a＞0，b≥0时，作图可知，若M（a，b）∈X，则p1＞p2≥0，
得|p1|＞|p2|；显然有点M（a，b）∈X；∴M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|．
②当a＞0，b＜0时，点M（a，b）在第二象限，作图可知，若M（a，b）∈X，则p1＞0＞p2，
且|p1|＞|p2|；
显然有点M（a，b）∈X，
∴显然有点M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|．
根据曲线的对称性可知，当a＜0时，M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|．
综上所述，M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|． （*）
由（1）知点M在直线EF上，方程x2-ax+b=0的两根x1，2=
或a-
，
同理知点M在直线E′F′上，方程x2-ax+b=0的两根x1，2=
或a-
，
若φ（a，b）=
，则
不比|a-
|、
、|a-
|小，
∴|p1|＞|p2|；又|p1|＞|p2|⇒M（a，b）∈X；
∴φ（p，q）=
⇒M（a，b）∈X；
又由（1）知，M（a，b）∈X⇒φ（p，q）=
；
∴M（a，b）∈X?φ（p，q）=
，综合（*）式，得证．
（3）联立y=x-1，y=
（x+1）2-
得交点（0，-1），（2，1），可知0≤p≤2，
过点（p，q）抛物线L的切线，设切点为（x，
x2），则
，
得x2-2px+4q=0，解得x=p+
，
又q≥
（p+1）2-
，即p2-4q≤4-2p，
x≤p+
，设
=t，x≤
=
≤
，
∴φmax=
；
而x≥p+
=p+|p-2|=2，
∴φmin=
=1．
点评：此题是个难题．本题考查了利用导数研究抛物线的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题形式是个新定义问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
p2）（p≠0）L的切线方程，求得点B的坐标，即可证得结果；（2）求出过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，根据φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}，比较
、|a-|、、|a-|的大小，即可证得结论；（3）联立y=x-1，y=
（x+1）2-求得交点坐标，利用导数求过点（p，q）抛物线L的切线方程，求得切点坐标，转化为求函数的最值问题．解答：解：（1）kAB=y′|x=p0=
p，直线AB的方程为y-
p2=p（x-p），即y=px-p2，∴q=
pp-p2，方程x2-px+q=0的判别式△=p2-4q=（p-p）2，两根x1，2=
=或p-，而|p-
|=||p|-|||，又0≤|p|≤|p|，∴
，得|p-|=||p|-|||，∴φ（p，q）=
；（2）由a2-4b＞0知点M（a，b）在抛物线L的下方，
①当a＞0，b≥0时，作图可知，若M（a，b）∈X，则p1＞p2≥0，
得|p1|＞|p2|；显然有点M（a，b）∈X；∴M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|．
②当a＞0，b＜0时，点M（a，b）在第二象限，作图可知，若M（a，b）∈X，则p1＞0＞p2，
且|p1|＞|p2|；
显然有点M（a，b）∈X，
∴显然有点M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|．
根据曲线的对称性可知，当a＜0时，M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|．
综上所述，M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|． （*）
由（1）知点M在直线EF上，方程x2-ax+b=0的两根x1，2=
或a-，同理知点M在直线E′F′上，方程x2-ax+b=0的两根x1，2=
或a-，若φ（a，b）=
，则不比|a-|、、|a-|小，∴|p1|＞|p2|；又|p1|＞|p2|⇒M（a，b）∈X；
∴φ（p，q）=
⇒M（a，b）∈X；又由（1）知，M（a，b）∈X⇒φ（p，q）=
；∴M（a，b）∈X?φ（p，q）=
，综合（*）式，得证．（3）联立y=x-1，y=
（x+1）2-得交点（0，-1），（2，1），可知0≤p≤2，过点（p，q）抛物线L的切线，设切点为（x，
x2），则，得x2-2px+4q=0，解得x=p+
，又q≥
（p+1）2-，即p2-4q≤4-2p，x≤p+
，设=t，x≤=≤，∴φmax=
；而x≥p+
=p+|p-2|=2，∴φmin=
=1．点评：此题是个难题．本题考查了利用导数研究抛物线的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题形式是个新定义问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
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