Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f′（x）．
（Ⅰ）当时，若不等式对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，
（i） 求f（x）的解析式；
（ii）求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导函数，将不等式对任意x∈R恒成立，转化为使x²+2bx+b＞0恒成立，利用判别式，即可确定b的取值范围；
（Ⅱ）（i）利用函数f（x）为奇函数，可得b=0，利用在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，即可确定函数的解析式；
（ii）求导函数，确定函数的单调区间，进而分类讨论：当时，即使；当时，即使或；当时，即使或；当时，即使或；当时，即使或；当时，即使或，由此可知实数t的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）当时，
若使不等式对任意x∈R恒成立，只需使x²+2bx+b＞0对任意x∈R恒成立，
即使（2b）²-4b＜0成立，∴b的取值范围为：（0，1）
（Ⅱ）（i）∵f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），∴f′（1）=3a+2b+（b-a）=2a+3b
又在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，∴2a+3b=2
又函数f（x）为奇函数，∴b=0，∴a=1，
∴f（x）=x³-x
（ii）求导函数可得f′（x）=3x²-1
令f′（x）＞0，可得或x＞，令f′（x）＜0，可得
∴函数的单调增区间为（-∞，-），（，+∞），减区间为．
当时，若使关于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使，∴
当时，若使关于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使或，此时无解
当时，若使关于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使或，∴
当时，若使关于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使或，∴
当时，若使关于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使或，此时无解
当时，若使关于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使或，∴
综上，可知实数t的取值范围为：
点评：本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，研究恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．