Question

在△ABC中，tan

C

2

=

1

2

，

AH

•

BC

=0，

AB

•(

CA

+

CB

)=0，则过点C，以A、H为两焦点的椭圆的离心率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

• C、

  2

  2

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：由已知中在△ABC中，tan

c

2

=

1

2

，

AH

•

BC

=0，

AB

•(

CA

+

CB

)=0，H在BC边上，我们根据向量垂直的数量积为0，及二倍角的正切公式，易得△ABC是一个顶角正切为

4

3

的等腰三角形，AH为腰上高，由此设出各边的长度，然后根据椭圆的性质及椭圆离心率的定义，即可求出答案．

解答：解：由已知中

AH

•

BC

=0可得：AH为BC边上的高
又由

AB

•(

CA

+

CB

)=0可得：CA=CB
又由 tan

c

2

=

1

2

，可得tanC=

4

3

令AH=4X，则CH=3X，AC=BC=5X，BH=2X，
则过点C，以A、H为两焦点的椭圆中
2a=5x+3x=8x，2c=4x
则过点B以A、H为两焦点的椭圆的离心率e=

c

a

=

4x

8x

=

1

2

故选A

点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，其中根据已知求出满足条件的△ABC的形状进而求出各边长是解答本题的关键．