题目内容
已知定义在同一个区间（
，
）上的两个函数f（x）=x2-2alnx，g（x）=x3-bx2+x在x=x处的切线平行于x轴．（1）求实数a和b的取值范围；
（2）试问：是否存在实数x1，x2，当x1，x，x2成等比数列时，等式f（x1）+f（x2）=2g（x）成立？若成立，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据函数f（x）与g（x）在x=x处的切线平行于x轴可知f′（x）=0的解在区间（
，
）上，可求出a的取值范围，然后根据g′（x）=0将b用a表示，根据a的范围可求出b的取值范围；
（2）假设存在实数x1，x2∈（
，
）则x1•x2=a，根据f当x1，x，x2成等比数列时等式（x1）+f（x2）=2g（x）成立建立等式关系，然后构造函数，根据导数研究函数的单调性从得到（x1-x2）2＜0，从而可得结论．
解答：解：（1）f′（x）=2x-
令f′（x）=0
∵a＞0∴x=
∵
＜
＜
∴
＜a＜
g′（x）=3x2-2bx+1
令g′（x）=0得3a-2b
+1=0
∴b=
=
（3
+
）
∵
＜t=
＜
∴
（3t+
）在（
，
）上单调递减则b∈（
，
）
（2）假设存在实数x1，x2∈（
，
）则x1•x2=a
由题意得x12+x22-2alnx1-2alnx2=-a
+
x12+x22-2x1•x2=2alna-a
+
-2a
令φ（a）=2alna-a
+
-2a （
＜a＜
）
φ′（a）=2lna+
-
φ‘’（a）=
∴φ′（a）在（
，
）上是增函数
∴φ′（a）＜φ′（
）=2ln
-
＜0
∴φ（a）在（
，
）上是减函数
∴φ（a）＜φ（
）=
ln
+
-
-
＜0
∴（x1-x2）2＜0
即不存在满足条件的x1与x2．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的性质，同时考查了计算能力和转化的思想，属于难题．
，）上，可求出a的取值范围，然后根据g′（x）=0将b用a表示，根据a的范围可求出b的取值范围；（2）假设存在实数x1，x2∈（
，）则x1•x2=a，根据f当x1，x，x2成等比数列时等式（x1）+f（x2）=2g（x）成立建立等式关系，然后构造函数，根据导数研究函数的单调性从得到（x1-x2）2＜0，从而可得结论．解答：解：（1）f′（x）=2x-
令f′（x）=0∵a＞0∴x=
∵
＜＜∴
＜a＜g′（x）=3x2-2bx+1
令g′（x）=0得3a-2b
+1=0∴b=
=（3+）∵
＜t=＜∴
（3t+）在（，）上单调递减则b∈（，）（2）假设存在实数x1，x2∈（
，）则x1•x2=a由题意得x12+x22-2alnx1-2alnx2=-a
+x12+x22-2x1•x2=2alna-a
+-2a令φ（a）=2alna-a
+-2a （＜a＜）φ′（a）=2lna+
-φ‘’（a）=
∴φ′（a）在（
，）上是增函数∴φ′（a）＜φ′（
）=2ln-＜0∴φ（a）在（
，）上是减函数∴φ（a）＜φ（
）=ln+--＜0∴（x1-x2）2＜0
即不存在满足条件的x1与x2．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的性质，同时考查了计算能力和转化的思想，属于难题．
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表示同一个函数；