Question

已知是二次函数，不等式的解集是(0，5)，且在区间[一1，4]上的最大值是l2．

(1)求的解析式；

(2)是否存在自然数优使得方程在区间(m，m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)是二次函数，且的解集是(0，5)，可设，

∴在区间[一1，4]上的最大值是，∴，解得，

    ∴R)．

    (2)方程等价于方程．

    ，则．

    ∴当时，，是增函数；

    当时，，是减函数；

    当时，，是增函数；

    容易计算，且．

∴方程在区间(3，)、(，4)内分别有唯一的实数根．

所以存在唯一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根．