Question

如图，正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，对角线BD₁＝8，BD₁与侧面BB₁C₁C所成角为30°，求：

(1)BD₁与底面ABCD所成的角．

(2)异面直线BD₁与AD所成的角．

(3)正四棱柱的全面积．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在正四棱柱A1C中，∵D1C1⊥面BB1C1C， 　　∴∠D1BC1是D1B与侧面BB1C1C所成的角，即∠D1BC1＝30°． 　　∵BD1＝8，∴D1C1＝4，BC1＝． 　　∵A1B1C1D1是正方形，∴B1C1＝D1C1＝4． 　　D1D⊥平面ABCD，∴∠D1BD是D1B与底面ABCD所成的角． 　　在Rt△D1DB中，BD＝B1D1＝，BD1＝8， 　　∴cos∠D1BD＝． 　　∴∠D1BD＝45°，即BD1与底面ABCD所成角为45°． 　　(2)∵AD∥A1D1， 　　∴∠A1D1B是BD1与AD所成的角(或补角)． 　　∵D1A1⊥平面AA1BB1，∴D1A1⊥A1B． 　　Rt△A1D1B中，A1D1＝4，BD1＝8， 　　∴cos∠A1D1B＝．∴∠A1D1B＝60°， 　　即异面直线AD与BD1所成角为60°． 　　(3)Rt△BB1C1中，B1C1＝4，BC1＝，∴BB1＝． 　　∴S全＝2(4×4＋4×＋4×)＝32(＋1)．

提示：

正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面积公式即可．