Question

如图，三棱锥C-ABD中，AB=AD=BD=BC=CD=2，O为BD的中点，∠AOC=120°，P为AC上一点，Q为AO上一点，且

AP

PC

=

AQ

QO

=2．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；
（Ⅱ）求证：PO⊥平面ABD；
（Ⅲ）求BP与平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

AP

PC

=

AQ

QO

，推导出PQ∥CO，由此能推导出PQ∥平面BCD．
（Ⅱ）由等边三角形的性质和直线与平面垂直的判定定理推导出BD⊥平面AOC，再由余弦定理求出PO，然后利用勾股定理和直线与平面垂直的判定定理能证明PO⊥平面ABD．
（Ⅲ）法一：过P作PH⊥OC于H，由已知条件推导出∠PBH为BP与平面BCD所成角，由此能求出BP与平面BCD所成角的正弦值．
法二：建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BP与平面BCD所成角的正弦值．

解答：（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：∵

AP

PC

=

AQ

QO

，
∴PQ∥CO…（1分）
又∵PQ不包含于平面BCD，CO?平面BCD…（2分）
∴PQ∥平面BCD…（3分）
（Ⅱ）由等边△ABD，等边△BCD，O为BD的中点得：
BD⊥AO，BD⊥OC，AO∩OC=O，
∴BD⊥平面AOC…（4分）
又∵PO?平面AOC，
∴BD⊥PO…（5分）
在△AOC中，∠AOC=120°，AO=OC=

3

，
∴∠OAC=30°，AC=

OA2+OC2-2•OA•OC•cos120°

=3…（6分）
又∵

AP

PC

=2，∴AP=2，
在△APO中，由余弦定理得：PO=1…（7分）
∴PO²+AO²=AP²
∴PO⊥AO…（8分）
又AO∩BD=O，
∴PO⊥平面ABD…（9分）
（Ⅲ）方法一：过P作PH⊥OC于H，连结BH
由（Ⅱ）知BD⊥平面AOC，BD?平面BCD，
∴平面BCD⊥平面AOC，…（10分）
∴PH⊥平面BCD，
∴∠PBH为BP与平面BCD所成角   …（11分）
在Rt△CPH中，CP=1，∠PCH=30°，∠PHC=90°，
∴PH=

1

2

…（12分）
在Rt△PBO中，BO=PO=1，∠POB=90°
∴PB=

2

…（13分）
在Rt△PBH中，sin∠PBH=

PH

PB

=

1 2

2

=

2

4

…（14分）
∴BP与平面BCD所成角的正弦值为

2

4

．
方法二：建立如图的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，

3

2

，

3

2

)，P(0，0，1)…（10分）
∴

BP

=(-1，0，1)，

CB

=(1，-

3

2

，-

3

2

)，

BD

=(-2，0，0)…（11分）
设平面BCD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • CB =0 n • BD =0

⇒

x- 3 2 y- 3 2 z=0 -2x=0

，
取

n

=(0，-

3

，1)…（12分）
设BP与平面BCD所成角为α，
则sinα=|cos＜

BP

，

n

＞|=

| BP • n |

| BP |•| n |

=

2

4

…（14分）
∴BP与平面BCD所成角的正弦值为

2

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．