Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos²

A

2

-cos2（B+C）=

7

2

，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b+c=3，求a的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角形的内角和定理得到B+C=π-A，代入已知的等式中，再利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，得到关于cosA的方程，求出方程的解得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入得到一个关系式，变形后将b+c的值代入，利用基本不等式即可求出a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，即B+C=π-A，
∴4cos²

A

2

-cos2（B+C）=2（1+cosA）-cos2A=-2cos²A+2cosA+3=

7

2

，
∴2cos²A-2cosA+

1

2

=0，
∴cosA=

1

2

，
又0＜A＜π，
∴A=60°；
（Ⅱ）由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

得：bc=b²+c²-a²，
∴a²=（b+c）²-3bc=9-3bc≥9-3（

b+c

2

）²=

9

4

，
∴a≥

3

2

，
则a的最小值为

3

2

，当且仅当b=c=

3

2

时取等号．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，余弦定理，基本不等式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．