题目内容
已知函数g(x)=px-
-2lnx
（1）g（x）在其定义域内的单调函数，求p的取值范围；
（2）求证：lnx≤x-1（x＞0）
（3）求证：
+
+…+
＜
[(n-1)-(
+
+…
)]（n∈N*，n≥2）
| p |
| x |
（1）g（x）在其定义域内的单调函数，求p的取值范围；
（2）求证：lnx≤x-1（x＞0）
（3）求证：
| ln2 |
| 22 |
| ln3 |
| 32 |
| lnn |
| n2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
（1）求导函数，可得g′(x)=
（x＞0）
∵g（x）在其定义域内的单调函数，
∴
或
或p=0
∴p≤-1或p≥1或p=0--------------------------------（4分）
（2）证明：设k（x）=lnx-x+1，则k′(x)=
-1=
（x＞0）
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，k（x）取极大值，
∴k（x）≤k（1）=0，即f（x）≤x-1（x＞0）-------------------------------（8分）
（3）证明：由（2）知，lnx≤x-1，又x＞0，有
≤
=1-
，
令x=n2得
=
＜1-
，即
＜
(1-
)，
∴
+
+…+
＜
[(1-
)+(1-
)+…+(1-
)]
=
[(n-1)-(
+
+…
)]--------（12分）
| px2-2x+p |
| x2 |
∵g（x）在其定义域内的单调函数，
∴
|
|
∴p≤-1或p≥1或p=0--------------------------------（4分）
（2）证明：设k（x）=lnx-x+1，则k′(x)=
| 1 |
| x |
| 1-x |
| x |
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，k（x）取极大值，
∴k（x）≤k（1）=0，即f（x）≤x-1（x＞0）-------------------------------（8分）
（3）证明：由（2）知，lnx≤x-1，又x＞0，有
| lnx |
| x |
| x-1 |
| x |
| 1 |
| x |
令x=n2得
| ln(n2) |
| n2 |
| 2lnn |
| n2 |
| 1 |
| n2 |
| lnn |
| n2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n2 |
∴
| ln2 |
| 22 |
| ln3 |
| 32 |
| lnn |
| n2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
练习册系列答案
应用题作业本系列答案
相关题目
．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得
(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．
(x＞1)，其中b为实数
(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得
(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．
(x＞1)，其中b为实数
，函数f(x)＝x2，h(x)＝2elnx(e为自然常数)．