Question

如图所示，ABCD是边长为a的正方形，△ABP是以角B为直角的等腰三角形．
（1）H为BD上一点，且AH⊥平面PDB，求证：平面ABCD⊥平面APB；
（2）若PC=

3

a，求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由AH⊥平面PDB，知AH⊥PB，由△ABP是以角B为直角的等腰三角形，知AB⊥PB，由此能够证明平面ABCD⊥平面APB．
（2）由PC=

3

a，ABCD是边长为a的正方形，△ABP是以角B为直角的等腰三角形，平面ABCD⊥平面APB，知BC⊥平面APB，以BA为x轴，以BP为y轴，以BC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PD-B的余弦值．

解答：解：（1）∵AH⊥平面PDB，PB?平面PDB，
∴AH⊥PB，
∵△ABP是以角B为直角的等腰三角形，
∴AB⊥PB，
∵AH∩AB=A，
∴AB⊥平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面APB．
（2）∵PC=

3

a，ABCD是边长为a的正方形，
△ABP是以角B为直角的等腰三角形，
平面ABCD⊥平面APB，
∴BC⊥平面APB，
以BA为x轴，以BP为y轴，以BC为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（a，0，0），P（0，a，0），D（a，0，a），B（0，0，0），
∴

BP

=(0，a，0)，

BD

=(a，0，a)，

AP

=(-a，a，0)，

AD

=(0，0，a)，
设平面BPD的法向量

n1

=(x1，y1，z1)，则

BP

•

n1

=0，

BD

•

n1

=0，
∴

ay1=0 ax1+az1=0

，∴

n1

=(1，0，-1)，
设平面APD的法向量

n2

=（x₂，y₂，z₂），则

AP

•

n2

=0，

AD

•

n2

=0，
∴

-ax2+ay2=0 az2=0

，∴

n2

=（1，1，0），
设二面角A-PD-B的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

1

2 × 2

|=

1

2

．
∴二面角A-PD-B的余弦值为

1

2

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化和向量法的合理运用．