Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足4b1-1•42b2-1•43b3-1…4nbn-1=(an+1)n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）若c_n=（b_n-1）（b_n+1-1），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得a_n+1+1=2（a_n+1），从而可得数列{1+a_n}是等比数列，结合等比数列的通项公式可求
（2）由已知可得2（b₁+2b₂+…+nb_n）-2n=n²+2n，2[b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1]=（n-1）²+2（n-1），两式相减可求
（3）由c_n=（b_n-1）（b_n+1-1）=

1

2n

•

1

2(n+1)

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和即可

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+1
∴a₁=1，a_n+1+1=2（a_n+1）
∴数列{1+a_n}是以2为公比以2为首项的等比数列
∴an+1=2n
∴an=2n-1
（2）∵4b1-1•42b2-1•43b3-1…4nbn-1=(an+1)n，
∴4b1+2b2+3b3+…+nbn-n=2n2
∴2（b₁+2b₂+…+nb_n）-2n=n²
∴2（b₁+2b₂+…+nb_n）-2n=n²+2n①
2[b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1]=（n-1）²+2（n-1）②
①-②可得，2nb_n=2n+1
即bn=1+

1

2n

（n≥2），n=1也满足
∴bn=1+

1

2n

（3）∵c_n=（b_n-1）（b_n+1-1）=

1

2n

•

1

2(n+1)

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)
∴Sn=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4n+4

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式，利用数列的递推公式转化数列的和与项之间的关系，裂项求解数列的和的应用．