Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1与双曲线

x2

3

-

y2

2

=1具有相同的焦点F₁，F₂，且顶点P（0，b）满足cos∠F1PF2=-

1

9

．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过抛物线x²=12y焦点F的直线交椭圆于A、B两点，若

FA

=λ

FB

，求实数λ的范围．

Answer 1

（1）∵双曲线

x2

3

-

y2

2

=1的焦点F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0），
∴椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦点F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0），
∴a²-b²=5．
∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的顶点P（0，b）满足cos∠F1PF2=-

1

9

，
∴

2a2-20

2a2

=-

1

9

，
解得a²=9，
∴b²=4，
故椭圆的方程为：

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）设直线AB的方程为y=kx+3，
联立方程组

y=kx+3 x2 9 + y2 4 =1

，
得（4+9k²）x²+54kx+45=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

FA

=λ

FB

，
∴x1+x2=(λ+1)x2=-

54k

4+9k2

，①
x1x2=λx22=

45

4+9k2

，②
由①得(λ+1)2x22= 

(54k)2

(4+9k2)2

，③
③÷②，得

(λ+1)2

λ

=

36

5

×

9k2

9k2+4

，
∴

(λ+1)2

λ

 ≤

36

5

，
整理，得5λ²-26λ+5≤0，
∴

1

5

≤λ≤5．