Question

（2013•门头沟区一模）已知函数f（x）=sin²x+cosxcos（

π

2

-x）．
（Ⅰ）求f （

π

3

）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及值域．

Answer 1

分析：（I）直接把x=

π

3

代入已知函数解析式即可求解
（II）利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简可得f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，然后结合正弦函数的性质即可求解周期及值域

解答：解：（I）由已知，得f(

1

3

π)=sin2

1

3

π+cos

1

3

πcos(

1

2

π-

1

3

π)…（2分）
=

3

4

+

1

2

×

3

2

=

3+ 3

4

…（5分）
（II）f（x）=sin²x+sinxcosx
=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

函数f（x）的最小正周期T=π…（11分）
值域为[

1- 2

2

，

1+ 2

2

]…（13分）

点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数的化简中的应用及正弦函数的性质的简单应用．