Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=4-a_n，n∈N^*，数列{b_n}满足b_n=log₂a_n．
（1）求a_n，b_n；
（2）设数列

1	(bn+2)(bn+4)

的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（4-a_n）-（4-a_n-1），化为

an

an-1

=

1

2

，利用等比数列的通项公式即可得出a_n；利用对数的运算法则即可得出b_n；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：（1）当n=1时，由a₁=4-a₁，解得a₁=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（4-a_n）-（4-a_n-1），化为

an

an-1

=

1

2

，
∴数列{a_n}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列，∴an=2×(

1

2

)n-1=2^2-n．
∴b_n=log₂a_n=log222-n=2-n；
（2）由（1）可知：

1

(bn+2)(bn+4)

=

1

(4-n)(6-n)

=

1

2

(

1

n-6

-

1

n-4

)，（n≠4，6）．
∴T_n=

1

2

[(-

1

5

-

1

-3

)+(

1

-4

-

1

-2

)+(

1

-3

-

1

-1

)+…+(

1

n-7

-

1

n-5

)+(

1

n-6

-

1

n-4

)]
=

1

2

(-

1

5

-

1

4

-

1

n-5

-

1

n-4

)
=-

9

40

-

1

2(n-5)

-

1

2(n-4)

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算法则、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．