Question

11．已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（0，-2$\sqrt{2}$），F₂（0，2$\sqrt{2}$），离心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程．
（2）一条斜率为-9的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，求线段MN的中点横坐标x₀的取值范围．
（3）若椭圆C上存在不同两点关于直线y=$\frac{1}{9}$x+m对称，试求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆c=2$\sqrt{2}$，e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求出a，b，即可得出椭圆的方程；
（2）利用点差法，直线l的斜率，可得MN的中点坐标，利用MN的中点在椭圆$\frac{{y}^{2}}{9}+{x}^{2}=1$内，从而可得线段MN的中点横坐标x₀的取值范围．
（3）若椭圆C上存在不同两点关于直线y=$\frac{1}{9}$x+m对称，由（2）知，线段MN的中点在直线y=$\frac{1}{9}$x+m，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
由已知c=2$\sqrt{2}$，e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
解得a=3，b=1，
∴椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{9}+{x}^{2}=1$；
（2）设M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），MN的中点为P（x₀，t），
由中点坐标公式有：x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2t，
M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），代入椭圆方程相减可得k_AB=-$\frac{9{x}_{0}}{t}$=-9
解得t=x₀，
∵MN的中点为P（x₀，t）在椭圆$\frac{{y}^{2}}{9}+{x}^{2}=1$内，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+{{x}_{0}}^{2}＜1$，
∴-$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜x₀＜$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（3）若椭圆C上存在不同两点关于直线y=$\frac{1}{9}$x+m对称，由（2）知，线段MN的中点在直线y=$\frac{1}{9}$x+m，
∴x₀=$\frac{1}{9}$x₀+m，
∴m=$\frac{8}{9}$x₀，
∵-$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜x₀＜$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
∴-$\frac{4\sqrt{10}}{45}$＜m＜$\frac{4\sqrt{10}}{45}$．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，属于中档题．