Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，数列的前n项和为T_n，且，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n}是等比数列，并写出通项公式；
（2）若对n∈N^*恒成立，求λ的最小值；
（3）若成等差数列，求正整数x，y的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为，且a_n＞0，所以推出a₁=1，；由，知，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）得，，由此能求出λ的最小值．
（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，则成等差数列，整理，得2^x=1+2^y-2，由此能求出正整数x，y的值．
解答：解：（1）因为，
其中S_n是数列{a_n}的前n项和，T_n是数列的前n项和，且a_n＞0，
当n=1时，由，
解得a₁=1，…（2分）
当n=2时，由，
解得； …（4分）
由，
知，
两式相减得，
即，…（5分）
亦即2S_n+1-S_n=2，从而2S_n-S_n-1=2，（n≥2），
再次相减得，又，
所以
所以数列{a_n}是首项为1，公比为的等比数列，…（7分）
其通项公式为，n∈N^*．…（8分）
（2）由（1）可得，
，…（10分）
若对n∈N^*恒成立，
只需=3×=3-对n∈N^*恒成立，
∵3-＜3对n∈N^*恒成立，∴λ≥3．
（3）若成等差数列，其中x，y为正整数，
则成等差数列，
整理，得2^x=1+2^y-2，
当y＞2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边为偶数或1，
等式不能成立，
∴满足条件的正整数x，y的值为x=1，y=2．
点评：本题考查等比数列的证明和数列的通项公式的求法，考查最小值的求法，考查满足条件的实数值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．