Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点．
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求圆的方程，关键是确定圆的圆心和半径，因为点O、F都在x轴上，所以圆心必在线段OF的垂直平分线上即在平行于y轴的直线上，结合圆与左准线l相切，可求得半径，进而求得圆心坐标；
（2）欲求点G横坐标的取值范围，从函数思想的角度考虑，先将其表示成某一变量的函数，后求函数的值域，这里取直线AB的斜率K为自变量，通过解方程组求得点G横坐标（用k表示），再求其取值范围．

解答：解：（I）∵a²=2，b²=1，
∴c=1，F（-1，0），l：x=-2．
∵圆过点O、F，
∴圆心M在直线x=-

1

2

上．
设M(-

1

2

，t)，则圆半径r=|(-

1

2

)-(-2)|=

3

2

．
由|OM|=r，得

(- 1 2 )2+t2

=

3

2

，
解得t=±

2

．
∴所求圆的方程为(x+

1

2

)2+(y±

2

)2=

9

4

．

（II）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根．
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x₀，y₀），
则x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x0=-

2k2

2k2+1

，y0=k(x0+1)=

k

2k2+1

∴AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-

1

k

(x-x0)．
令y=0，得xG=x0+ky0=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

．
∵k≠0，∴-

1

2

＜xG＜0，
∴点G横坐标的取值范围为(-

1

2

，0)．

点评：本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力，直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常是先联立组成方程组，消去x（或y），得到y（或x）的方程．我们在研究圆锥曲线时，经常涉及到直线与圆锥曲线的位置关系的研究．主要涉及到：交点问题、弦长问题、弦中点（中点弦）等问题，常用的方法：联立方程组，借助于判别式，数形结合法等．