Question

已知函数f(x)(a＞0，且a≠1)，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性，并给出证明；
(3)当x∈(n，a-2)时，函数f(x)的值域是(1，+∞)，求实数a与n的值．

Answer 1

解：(1)由得函数f(x)的定义域为(1，+∞)∪(-∞，-1)，
又，
所以f(x)为奇函数．
(2)由(1)及题设知，，
设，
∴当x₁＞x₂＞1时，，
∴t₁＜t₂，
当a＞1时，log_at₁＜log_at₂，即f(x₁)＜f(x₂)，
∴当a＞1时，f(x)在(1，+∞)上是减函数；
同理当0＜a＜1时，f(x)在(1，+∞)上是增函数．
(3)①当n＜a-2≤-1时，有0＜a＜1，
由(2)可知f(x)在(n，a-2)为增函数，由其值域为(1，+∞)知无解；
②当1≤n＜a-2时，有a＞3，
由(2)知f(x)在(n，a -2)为减函数，由其值域为(1，+∞)知得。