题目内容

在△ABC中，
AB
•
AC
=|
AB
-
AC
|=2．
（1）求|
AB
|2+|
AC
|2的值；
（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．
分析：（1）
AB
•
AC
=|
AB
-
AC
|=2．变形出|
AB
|2+|
AC
|2的表达式，求值即可．
（2）由面积公式表示出△ABC的面积，根据其形式用基本不等式求出等号成立的条件，即可．
解答：解：（1）
AB
•
AC
=|
AB
-
AC
|=2．得，|
AB
|2+|
AC
|2-2
AB
•
AC
=4，
故|
AB
|2+|
AC
|2=2
AB
•
AC
+4，又
AB
•
AC
═2
所以|
AB
|2+|
AC
|2=8
（2）由面积公式S△ABC=
1
2
|AB||AC|sin∠BAC
又
AB
•
AC
=|AB||AC|cos∠BAC=2
∴cos∠BAC=
2
|AB||AC|

∴sin∠BAC═
1-(
2
|AB||AC|
)2
=
(|AB||AC|)2-4
|AB||AC|

∴S△ABC=
1
2
|AB||AC|sin∠BAC=
1
2
(|AB||AC|)2-4
≤
1
2
(
|AB|+|AC|
2
)4-4

等号当且仅当|AB|=|AC|时成立，
又由（1）|AB|=|AC|=2时，三角形面积取到最大值．
cos∠BAC=
1
2
，即∠BAC=60°
答：当△ABC的面积最大时，求∠A的大小是600．
点评：考查向量的夹角公式、三角形中同角三角函数的基本关系以及基本不等式求最值，综合性与知识性较强．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，则（　　）
在△ABC中，AB=4，AC=2，S△ABC=2
3
．
（1）求△ABC外接圆的面积．
（ 2）求cos（2B+
π
3
）的值．
在△ABC中，AB=a，AC=b，当
a
•
b
＜0时，△ABC为
钝角三角形
钝角三角形
．
在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=
7
，则△ABC的面积为
3
3
2
3
3
2
，△ABC的外接圆的面积为
7π
3
7π
3
．
在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，M为AB的中点，
BN
=
1
3
BC
，则
 
．

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