Question

（本小题满分12分）设数列满足，，，其中、为实数，且。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，，求数列的前项的和；

（Ⅲ）若对任意成立，证明：。

Answer 1

 本题主要考查数列的概念，数列通项公式的求法以及不等式的证明等；考查运算能力，综合运用知识解决问题的能力。

解：（Ⅰ）方法一：∵，

∴当时，是首项为，公比为的等比数列。

∴，即，

当时，仍满足上式，

∴数列的通项公式为，（）。

方法二：由题设得：

时，

∴

时也满足上式。

∴数列的通项公式为，（）。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

，

∴

∴

∴。

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知

若，则。

∵，∴

由对任意的成立，知。

下证，用反证法。

方法一：假设。由函数的函数图像知，当趋于无穷大时，趋于无穷大。

∴不能对恒成立，导致矛盾。

∴， ∴。

方法二：假设，∵，∴。

即（）恒成立   （*）

∵、为常数，∴（*）对不能恒成立

∴， ∴。